关于二叉堆的一些想法

https://labuladong.online/algo/data-structure-basic/binary-heap-implement/#代码实现

今天学二叉堆的时候，让gemini给了一份代码，发现它去实现了一个getPathToParent函数，可以很方便的找到插入节点的父节点。

// getPathToParent 根据节点索引n(1-based)的二进制表示，计算从根到其父节点的路径。
func getPathToParent(n int) string {
	if n <= 1 {
		return ""
	}
	// 获取n的二进制字符串，并去掉代表根的最高位'1'和代表节点本身的最低位。
	binaryStr := strconv.FormatInt(int64(n), 2)
	return binaryStr[1 : len(binaryStr)-1]
}

让我们一步步分解它的工作原理。

1. 问题：我们想做什么？

在一个完全二叉堆中，新元素总是被添加到树的最后一层的、从左到右的第一个可用位置。

想象一下我们已经有5个节点的堆：

      (1)
     /   \
    (2)   (3)
   / \
 (4) (5)

现在我们要插入第 6 个节点。它应该放在哪里？它应该成为节点 (3) 的左子节点。

问题是，在我们的代码中，我们如何从根节点 (1) 出发，准确地找到节点 (3)，从而可以执行 parent.Left = newNode 的操作？这就是 getPathToParent 的任务。

2. 核心思想：节点位置和二进制路径的映射

一个完全二叉树的结构和二进制数有着奇妙的对应关系。如果我们把节点的**位置（1-based 索引）**写成二进制，这个二进制数就隐藏了从根节点到达该节点的路径。

规则如下：

• 把节点位置 n 写成二进制。
• 忽略最高位的 1（因为它代表根节点本身）。
• 剩下的二进制位就是路径：0 代表向左走，1 代表向右走。

让我们用上面的树来验证一下：

这个规律完美成立！

3. 从“节点路径”到“父节点路径”

我们已经知道如何找到去往目标节点 n 的路径了。但是，我们需要的是去往它父节点的路径。

这很简单：父节点的路径，就是目标节点路径去掉最后一步。

• 要到达节点 6，路径是 向右，再向左 (二进制 10)。
• 那么要到达它的父节点（节点 3），路径就是 向右 (二进制 1)。

4. 代码如何实现这个逻辑

现在我们再来看这几行代码，就清晰了：

// 例子: 我们要插入第 6 个节点, 所以 n = 6
func getPathToParent(n int) string {
    // n = 6
	if n <= 1 { // 如果是插入第一个节点，它没有父节点
		return ""
	}
    
	// 1. 将 n 转换为二进制字符串
	// strconv.FormatInt(6, 2)  -->  "110"
	binaryStr := strconv.FormatInt(int64(n), 2)

	// 2. 提取代表父节点路径的子字符串
	// binaryStr 是 "110", len(binaryStr) 是 3
	// 我们要的切片是 [1 : len-1]，即 [1:2]
    // string[1:2] 提取的是索引为 1 的字符（不包括索引2）
	// "110"
	//  ^ (索引0, 最高位 '1', 忽略)
	//   ^ (索引1, 我们需要的部分)
	//    ^ (索引2, 最后一步, 丢弃)
	//
	// 所以 binaryStr[1:2] 的结果是 "1"
	return binaryStr[1 : len(binaryStr)-1]
}

总结一下 binaryStr[1 : len(binaryStr)-1] 这行代码的含义：

• [1:] 的部分：跳过最高位的 1，因为路径是从根节点的子节点开始计算的。
• [:len(binaryStr)-1] 的部分：忽略最后一个字符，因为我们想在到达目标节点的前一步停下来，也就是停在父节点上。

所以，当我们要插入第 6 个节点时，getPathToParent(6) 返回字符串 "1"。在 Insert 函数中，循环就会根据这个 "1" 从根节点向右走一步，准确地找到节点 (3) 作为新节点的父节点。